행렬에서 Rank의 개념

Rank는 행렬의 매우 중요한 특성 중 하나로 행렬이 나타내는 선형 변환의 '정보량' 또는 '차원'을 측정하는 개념이다. 여러가지 동등한 정의가 있어 다양하게 정의할 수 있다.

 

랭크의 정의:

 

1. 선형 독립인 행 (또는 열) 벡터의 최대 개수 => row rank와 column rank는 항상 동일하기 때문에 그냥 rank라고 부른다.

2. 행 공간 또는 열 공간의 차원: 해당 공간의 basis를 이루는 벡터의 개수

3. 피벗의 개수: 가우스 소거법을 통해 행사다리꼴로 변환했을 때, 0이 아닌 행의 개수 = rank, 피벗은 각 행의 첫번째 0이 아닌 원소를 의미하는데 피벗의 개수와도 동일하다.

4. 0이 아닌 가장 큰 소행렬식의 차수

 

$$ A = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\2 & 4 & 6 \\3 & 6 & 9 \end{bmatrix} $$

 

이 행렬의 두 번째 행은 첫 번째 행의 2배이고, 세 번째 행은 첫 번째 행의 3배이다. 즉, 모든 행이 첫 번째 행에 선형적으로 종속됩니다. 따라서 선형 독립인 행은 1개뿐이라는 의미이다. 마찬가지로, 모든 열도 첫 번째 열에 선형적으로 종속된다. 따라서 이 행렬 A의 랭크는 1이다.

 

$$ rank(A) = 1 $$

 

랭크의 활용:

 

1. 선형 연립방정식의 해의 존재 및 유일성 판별

2. 선형 변환의 이미지(Image)와 영공간(Null Space)의 차원

3. 행렬의 가역성(Invertibility) 판별

4. 데이터 분석 및 기계 학습: 차원 축소 (Dimensionality Reduction), 공분산 행렬의 랭크, 다중 공선성(Multicollinearity) 진단

5. 제어 이론: 시스템의 가제어성(controllability)이나 가관측성(observability)을 판별