선형대수학의 본질 - 선형결합, 기저벡터

가끔 가다보면 선형대수학에 대한 기하학적 해석으로 직관적인 접근을 하는 사람들은 어떤 배움을 통해 그런 능력을 갖추었는지 궁금했는데, 유튜브를 보다보니 관련 영상을 찾을 수 있었다. 보통 선행대수, 행렬을 배울 때는 계산법이나 연립방정식의 해법을 위한 방식으로 생각하게되는데, 기하학적으로 생각하게 된다면 벡터에 대한 이해를 차원들 사이에서 이해하게 된다.

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제3장: 선형변환과 행렬 | 선형대수학의 본질: https://www.youtube.com/watch?v=35ESC-g49fY&list=PLkoaXOTFHiqhVDo0nWybNmihCP_4BjOFR

 

행렬식이란? 서울대 AI 박사 강의: https://www.youtube.com/watch?v=HvORPEChk6Y

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1. 기존의 x축 단위 벡터 i햇 (또는 e1​)가 새로운 공간에서 다음 벡터로 변환

$$ \hat{i} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} $$

 

2. 기존의 y축 단위 벡터 j햇​ (또는 e2​)가 새로운 공간에서 다음 벡터로 변환

$$ \hat{j} \rightarrow \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \end{bmatrix} $$

 

3. 원래 공간의 임의의 벡터 [x; y​]가 이 변환된 기저 벡터들에 의해 어떻게 새로운 공간의 벡터로 사상되는지 행렬 곱셈과 선형 결합을 통해 표현됨

$$ \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1x + 3y \\ 2x + 0y \end{bmatrix} $$

 

이 수식은 선형 변환(Linear Transformation)의 핵심적인 아이디어를 보여준다. 즉, 행렬 [1 2; ​3 0​]은 공간을 '비트는' 역할을 하며, 이 행렬의 열 벡터들이 바로 변환된 기저 벡터들이다. 어떤 벡터 [x; y​]가 이 행렬과 곱해질 때, 이는 곧 변환된 기저 벡터들의 선형 결합으로 표현되어 새로운 공간에서의 위치를 알 수 있게 된다.

 

여기서 x, y는 스칼라값이 될수도 있고 벡터나 행렬로도 표현될 수 있는데, 이는 행렬과 벡터의 확장성도 생각해볼 수 있는 지점이다.

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위와 같은 논리로 곱셈을 한번 계산해본다면,

 

$$ M2 = \begin{bmatrix}0 & 2 \\1 & 0 \end{bmatrix} $$
$$ M1 = \begin{bmatrix}1 & -2 \\1 & 0 \end{bmatrix} $$

 

$$ \begin{bmatrix}0 & 2 \\1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 \\1 \end{bmatrix} = 1 \begin{bmatrix}0 \\1 \end{bmatrix} + 1 \begin{bmatrix}2 \\0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 \\1 \end{bmatrix} $$

$$ \begin{bmatrix}0 & 2 \\1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}-2 \\0 \end{bmatrix} = -2 \begin{bmatrix}0 \\1 \end{bmatrix} + 0 \begin{bmatrix}2 \\0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\-2 \end{bmatrix} $$

$$ \therefore M2 * M1 = \begin{bmatrix}2 & 0 \\1 & -2 \end{bmatrix}  $$

 

이런 결과가 나온다. 이런 결과는 단순히 행렬을 곱해서 답을 구하는 것과는 다른 직관을 제공하기 때문에 한번 확인해보면 좋다. 이 이후에는 공간을 기울이거나 비튼 후 기저벡터의 스케일에 따라 넓이를 구하여 해당 공간에서 도달할 수 있는 부분들을 확인하는 등 여러 활용이 가능하다.