통계의 오해: 주사위 6번을 던지면 한번은 1이 나온다.

우리는 확률을 계산할 때, 장기적인 결과를 단기적인 결과에도 적용해버리는 실수를 하곤 한다. 예를들어, 주사위를 굴렸을 때, 1이 나올 확률은 1/6이라고는 하지만, 이 확률은 장기적인 경향성을 나타내는 것이다. 1000번을 던진다면 한 167번 정도는 1이 나오더라라는 것이다. 그렇다면 만약 6번을 던진다고할 때 1은 무조건 한번은 나오나? 대답은 "아니오"다. 즉, 주사위를 6번 던져서 1이 나올 확률이 1/6이라고 해서 반드시 한 번 나와야 한다고 믿는 것은 확률에 대한 오해이다.

 

* 도박사의 오류: 과거의 사건들이 미래의 독립적인 사건에 영향을 미친다고 믿는 오류

 

주사위를 매번 새롭게 굴리는 것은 독립 시행이다. 즉, 과거의 사건이 미래의 사건에 영향을 주지 않고, 매 순간마다 1이 나올 확률 1/6이라는 것이다. 이를 통해 우리는 6번 동안 적어도 1이 한번이라도 나올 확률을 계산할 수 있다.

 

계산식:

전체의 경우에서 6번의 시행 동안 한번도 1이 나오지 않는 경우를 빼준다.

$$ 1 - \binom{6}{6} \left(\frac{5}{6}\right)^6 \left(\frac{1}{6}\right)^0 = 1 - 0.33489798 = 0.66510202 $$

6번을 던져서 한번이라도 1이 나올 확률은 약 66.51%이다. 즉, 100%가 아니다.

 

그외 사례: 

이와 같은 케이스는 흔하게 볼 수 있는데, 50% 확률로 담청될 복권을 10번을 시도했을 때 한번이라도 담청될 확률은 다음과 같다. 10번 모두 당첨되지 않을 확률은 (0.5) ^ 10 = 0.0009765625 이고, 1 - 0.0009765625 = 0.9990234375 이다. 즉 거의 99.9%로 한번은 담청된다. 대충 계산했을 때 50% 확률로 담청될 복권을 10번을 시도했을 때 다섯번이라도 담청될 확률은 25% 정도일 것이다. 이런 경우 아마도 체감상 2배 정도 차이가 날 것이다.