양자 오류 수정(QEC): Stabilizer

1. 안정화기(Stabilizer)란 무엇인가?

안정화기는 부호화된 텐서 곱으로 이루어진 파울리 연산자의 집합입니다. 파울리 행렬(항등 행렬, 비트 플립(X), 위상 플립(Z), 그리고 둘 다 적용(Y))을 기본으로 하며, 여러 큐비트 시스템에서는 각 큐비트에 개별적인 파울리 연산을 적용하는 것을 의미합니다.

* ​안정화기는 상태 ∣ψ⟩를 불변으로 유지하는 모든 파울리 연산자의 집합

 

2. 안정화기와 양자 상태

어떤 양자 상태에 안정화기의 모든 연산을 적용했을 때 상태가 변하지 않으면 (즉, +1 고유값을 가지면), 그 상태는 해당 안정화기에 의해 안정화되었다고 말합니다. 예를 들어, |0⟩ 상태는 Z 연산자에 의해 안정화됩니다. 이러한 관계를 통해 상태 표기 대신 연산자 표기를 사용할 수 있습니다.

 

Z|0⟩ = |0⟩

-Z|1⟩ = |1⟩

X|+⟩ = |+⟩

-X|-⟩ = |-⟩

 

|0⟩ -> +Z

|1⟩ -> -Z

|+⟩ -> +X

|-⟩ -> -X

 

3. 다중 큐비트 상태와 안정화기

다중 큐비트 상태는 여러 개의 독립적인 안정화기에 의해 정의될 수 있습니다. 3 큐비트 상태 |000⟩ + |111⟩는 XXX, ZZI, IZZ 세 개의 안정화기에 의해 안정화됩니다. 각 안정화기를 상태에 적용하면 원래 상태를 얻을 수 있습니다.

 

4. 안정화기를 이용한 오류 감지

양자 상태에 오류가 발생하면, 특정 안정화기의 고유값이 +1에서 -1로 바뀔 수 있습니다. 예를 들어, 3 큐비트 상태에 두 번째 큐비트에 비트 플립 오류(X2)가 발생하면, ZZI 안정화기의 고유값이 +1에서 -1로 변합니다. 이러한 고유값 변화를 측정함으로써 오류 발생 여부를 감지할 수 있습니다.

 

5. 안정화기 측정 회로

특정 연산자 A에 대해 양자 상태가 +1 또는 -1 고유값을 가지는지 확인하는 회로는 다음과 같습니다.

• 보조 큐비트를 |0⟩ 상태로 초기화합니다.
• 보조 큐비트에 하다마드 게이트(H)를 적용합니다.
• 보조 큐비트를 제어 큐비트로 사용하여, 데이터 큐비트에 연산자 A를 적용하는 제어된-A 게이트를 수행합니다.
• 보조 큐비트에 다시 하다마드 게이트(H)를 적용합니다.
• 보조 큐비트를 측정합니다.

측정 결과가 0이면 데이터 큐비트는 A의 +1 고유 상태에 투영되고, 1이면 -1 고유 상태에 투영됩니다. 이 회로는 오류를 감지할 뿐만 아니라 오류가 발생한 상태를 해당 고유 상태로 정화하는 역할도 합니다.

 

보조 큐비트의 측정 결과에 따라 어떻게 A의 고유 상태를 알 수 있는가?

보조 큐비트 측정 결과에 따른 A의 고유 상태 변화 및 정화에 대한 자세한 설명

특정 연산자 A에 대한 양자 상태의 고유값을 확인하는 회로는 양자 측정의 중요한 기술 중 하나입니다. 이 회로가 보조 큐비트 측정 결과에 따라 데이터 큐비트의 고유 상태를 변화시키고 정화하는 원리를 단계별로 자세히 나타내봅시다.

1. 초기 상태

데이터 큐비트: 연산자 A의 고유값을 알고자 하는 임의의 양자 상태 $|\psi\rangle$에 있습니다. 이 상태는 A의 고유 상태의 중첩일 수 있습니다.
보조 큐비트: $|0\rangle$ 상태로 초기화됩니다. 이 큐비트는 측정 결과를 저장하고 제어된 연산을 가능하게 하는 역할을 합니다.

전체 시스템의 초기 상태는 $|\Psi_0\rangle = |\psi\rangle \otimes |0\rangle$ 입니다.

2. 보조 큐비트에 대한 하다마드 게이트 (H):

하다마드 게이트는 $|0\rangle$ 상태를 $\frac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}}$ 로, $|1\rangle$ 상태를 $\frac{|0\rangle - |1\rangle}{\sqrt{2}}$ 로 변환합니다. 보조 큐비트에 H 게이트를 적용하면 전체 상태는 다음과 같이 됩니다.

$|\Psi_1\rangle = |\psi\rangle \otimes \frac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} (|\psi\rangle |0\rangle + |\psi\rangle |1\rangle)$

3. 제어된-A 게이트 (Controlled-A):

제어된-A 게이트는 보조 큐비트가 $|1\rangle$ 상태일 때 데이터 큐비트에 연산자 A를 적용합니다. 보조 큐비트가 $|0\rangle$ 상태이면 데이터 큐비트는 변하지 않습니다.

- 제어 큐비트가 $|0\rangle$일 때: $C-A |q\rangle |0\rangle = |q\rangle |0\rangle$
- 제어 큐비트가 $|1\rangle$일 때: $C-A |q\rangle |1\rangle = A|q\rangle |1\rangle$

$|\Psi_1\rangle$에 제어된-A 게이트를 적용하면 전체 상태는 다음과 같이 됩니다.

$|\Psi_2\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|\psi\rangle |0\rangle + A|\psi\rangle |1\rangle)$

4. 보조 큐비트에 대한 두 번째 하다마드 게이트 (H):

보조 큐비트에 다시 하다마드 게이트를 적용하면 전체 상태는 다음과 같이 됩니다.

$|\Psi_3\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|\psi\rangle \frac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}} + A|\psi\rangle \frac{|0\rangle - |1\rangle}{\sqrt{2}})$
$|\Psi_3\rangle = \frac{1}{2} (|\psi\rangle |0\rangle + |\psi\rangle |1\rangle + A|\psi\rangle |0\rangle - A|\psi\rangle |1\rangle)$
$|\Psi_3\rangle = \frac{1}{2} ((|\psi\rangle + A|\psi\rangle) |0\rangle + (|\psi\rangle - A|\psi\rangle) |1\rangle)$

5. 보조 큐비트 측정:

이제 보조 큐비트를 측정합니다. 측정 결과는 0 또는 1이 될 수 있습니다.

측정 결과가 0인 경우:
    전체 시스템의 상태는 보조 큐비트가 $|0\rangle$인 부분으로 축소됩니다. 데이터 큐비트의 상태는 다음과 같이 주어집니다 (정규화 상수 무시).
    $|\psi'_0\rangle \propto (|\psi\rangle + A|\psi\rangle)$

    만약 초기 데이터 큐비트 상태 $|\psi\rangle$가 A의 고유 상태이고 고유값이 $+1$이라면 ($A|\psi\rangle = +1 |\psi\rangle$),
    $|\psi'_0\rangle \propto (|\psi\rangle + |\psi\rangle) = 2|\psi\rangle$.
    즉, 데이터 큐비트는 A의 $+1$ 고유 상태에 투영됩니다.

    만약 초기 데이터 큐비트 상태 $|\psi\rangle$가 A의 고유 상태이고 고유값이 $-1$이라면 ($A|\psi\rangle = -1 |\psi\rangle$),
    $|\psi'_0\rangle \propto (|\psi\rangle - |\psi\rangle) = 0$.
    즉, 측정 결과가 0일 확률은 0이 됩니다.

측정 결과가 1인 경우:
    전체 시스템의 상태는 보조 큐비트가 $|1\rangle$인 부분으로 축소됩니다. 데이터 큐비트의 상태는 다음과 같이 주어집니다 (정규화 상수 무시).
    $|\psi'_1\rangle \propto (|\psi\rangle - A|\psi\rangle)$

    만약 초기 데이터 큐비트 상태 $|\psi\rangle$가 A의 고유 상태이고 고유값이 $+1$이라면 ($A|\psi\rangle = +1 |\psi\rangle$),
    $|\psi'_1\rangle \propto (|\psi\rangle - |\psi\rangle) = 0$.
    즉, 측정 결과가 1일 확률은 0이 됩니다.

    만약 초기 데이터 큐비트 상태 $|\psi\rangle$가 A의 고유 상태이고 고유값이 $-1$이라면 ($A|\psi\rangle = -1 |\psi\rangle$),
    $|\psi'_1\rangle \propto (|\psi\rangle - (-|\psi\rangle)) = 2|\psi\rangle$.
    즉, 데이터 큐비트는 A의 $-1$ 고유 상태에 투영됩니다.

왜 고유 상태가 바뀌고 정화가 되는가?

고유 상태 변화 (투영): 초기 데이터 큐비트 상태 $|\psi\rangle$가 A의 고유 상태의 중첩으로 주어졌다고 가정해 봅시다. 예를 들어, $|\psi\rangle = c_+ |\lambda_+\rangle + c_- |\lambda_-\rangle$, 여기서 $|\lambda_+\rangle$와 $|\lambda_-\rangle$는 A의 고유값이 각각 $+1$과 $-1$인 고유 상태이고, $c_+$와 $c_-$는 복소수 계수입니다.

    측정 결과가 0이면 데이터 큐비트의 상태는 $(|\psi\rangle + A|\psi\rangle) \propto (c_+ |\lambda_+\rangle + c_- |\lambda_-\rangle + c_+ |\lambda_+\rangle - c_- |\lambda_-\rangle) = 2c_+ |\lambda_+\rangle$가 됩니다. 따라서 데이터 큐비트는 A의 $+1$ 고유 상태 $|\lambda_+\rangle$에 투영됩니다.

    측정 결과가 1이면 데이터 큐비트의 상태는 $(|\psi\rangle - A|\psi\rangle) \propto (c_+ |\lambda_+\rangle + c_- |\lambda_-\rangle - (c_+ |\lambda_+\rangle - c_- |\lambda_-\rangle)) = 2c_- |\lambda_-\rangle$가 됩니다. 따라서 데이터 큐비트는 A의 $-1$ 고유 상태 $|\lambda_-\rangle$에 투영됩니다.

정화: 초기 데이터 큐비트 상태가 A의 고유 상태의 혼합된 상태 (예: 통계적 앙상블)라고 가정해 봅시다. 이 회로를 실행하고 보조 큐비트를 측정하면, 측정 결과에 따라 데이터 큐비트는 특정 고유값에 해당하는 더 순수한 상태로 효과적으로 "정화"됩니다. 이는 측정 자체가 시스템에 정보를 가져오고, 그 정보를 바탕으로 상태를 특정 고유 공간으로 선택하기 때문입니다.

오류 감지 및 정화:

설명에서 언급된 "오류"는 초기 상태가 우리가 기대하는 A의 고유 상태가 아닌 경우를 의미할 수 있습니다. 예를 들어, 우리가 데이터 큐비트가 A의 $+1$ 고유 상태에 있기를 기대했지만, 어떤 이유로 인해 $-1$ 고유 상태 성분이 포함된 상태가 되었다고 가정해 봅시다.

이 회로를 실행하면:

* 보조 큐비트 측정 결과가 0이면 데이터 큐비트는 A의 $+1$ 고유 상태로 투영됩니다. 이는 오류가 없었거나, 오류가 있었지만 측정 결과가 $+1$ 고유 상태 성분을 선택했음을 의미합니다.
* 보조 큐비트 측정 결과가 1이면 데이터 큐비트는 A의 $-1$ 고유 상태로 투영됩니다. 이는 초기 상태에 $-1$ 고유 상태 성분이 있었음을 나타내며, 우리가 기대했던 $+1$ 고유 상태와 다르므로 "오류"로 간주할 수 있습니다. 이 경우, 데이터 큐비트는 측정 결과를 통해 확인된 $-1$ 고유 상태로 정화됩니다.

요약하자면, 이 회로는 보조 큐비트와의 상호작용과 측정을 통해 데이터 큐비트의 상태를 연산자 A의 고유 상태 중 하나로 확률적으로 투영합니다. 측정 결과는 초기 상태가 어떤 고유 상태 성분을 가지고 있었는지에 대한 정보를 제공하며, 측정 후 데이터 큐비트는 해당 고유 상태로 "정화"됩니다. 만약 우리가 특정 고유값을 기대했는데 다른 측정 결과가 나왔다면, 이는 초기 상태가 기대와 달랐음을 나타내는 "오류"로 해석할 수 있습니다.

 

6. 오류 위치 특정 예시

3 큐비트 예시에서, 첫 번째 큐비트(가장 왼쪽)에 비트 플립 오류가 발생하면 ZZI 안정화기의 부호가 바뀝니다. 가운데 큐비트에 오류가 발생하면 XXX와 ZZI의 부호가 모두 바뀝니다. 가장 오른쪽 큐비트에 오류가 발생하면 IZZ의 부호만 바뀝니다. 이를 통해 안정화기의 부호 변화를 측정하여 오류가 발생한 위치를 특정할 수 있습니다.

 

7. 안정화기의 그림 표현

양자 상태와 안정화기 목록 외에도, 안정화기를 그림으로 표현할 수 있습니다. 예를 들어, 3 큐비트 시스템에서 XXX 안정화기는 세 큐비트를 연결하는 흰색 삼각형으로, ZZI는 첫 번째와 두 번째 큐비트를 연결하는 도형으로, IZZ는 두 번째와 세 번째 큐비트를 연결하는 도형으로 나타낼 수 있습니다. 위상 오류는 그림에서 해당 안정화기 부분의 부호가 바뀌는 것으로 표현할 수 있습니다.