양자 상태와 양자 회로 기초

Quantum States

$$ |\Psi \rangle =\sum _{i=0}^{2^{n}-1}c_{i}|i\rangle $$

$$ c_{i} \in \mathbb{C} $$

 

3개의 큐비트, 8개의 가능한 상태가 있다면 8개의 복소수를 저장할 수 있다. 일반 컴퓨터에서 양자 컴퓨터의 상태를 표현하려면 길이가 8인 배열이 필요하며, 표현할 수 있는 복소수마다 한 칸씩 공간이 필요하다. 우리들은 각 상태의 진폭(amplitude)을 하나씩 변경하여 이 모든 정보를 저장할 수 있고 조작할 수 있다. 

 

$$ \sum _{i=0}^{2^{n}-1}|c_{i}|^{2}=1 $$

 

모듈러의 제곱은 컴퓨터를 해당 상태에서 관찰할 확률이며, 이 확률의 합은 1이 된다.

• $ |\Psi \rangle $ 은 qunatum register or quantum state를 의미한다. 
• $ c_{i} $ 은 진폭(amplitude)을 의미한다. 
• $ |c_{i}|^{2} $ 은 확률(probability)을 의미한다. 

1. 비트플립 게이트 (파울리 X 게이트) (Bit-Flip Gate (Pauli X Gate))

• 양자 게이트의 비트 플립 게이트는 양자 컴퓨팅에서 큐비트의 상태를 조작하는 기본적인 연산 중 하나
• 블로흐 구면에서 X축을 중심으로 180도 회전을 의미
• 비트 플립 게이트는 양자 오류 수정 코드에서 중요한 역할
• X|0⟩ = |1⟩, X|1⟩ = |0⟩, X|+⟩ = |+⟩ (|+⟩는 하다마르 게이트를 |0⟩ 상태에 적용하여 얻는 중첩 상태를 의미하고, 그런 중첨상태에서 파울리 게이트를 적용한다해도 상태는 변하지 않는다, X|-⟩ = -|-⟩인데 고유값은 -1이고 일종의 스칼라값이라고 생각하면 된다.)
• X(α|000⟩ + β|111⟩)는 α의 진폭으로 3개의 큐비트가 |0⟩인 상태와 β의 진폭으로 3개의 큐비트가 |1⟩인 상태에서 파울리 케이트를 통과하는 것을 의미
  • X 게이트를 이 상태에 적용할 때, X 게이트는 각각의 큐비트에 독립적으로 작용
  • 그러나 주어진 상태 |000⟩ 과 |111⟩은 모든 큐비트가 동일한 상태이므로 X 게이트는 모든 큐비트를 동시에 뒤집음
  • 따라서, X(α|000⟩ + β|111⟩) = αX|000⟩ + βX|111⟩ = α|111⟩ + β|000⟩
  • 결과적으로, |000⟩ 상태는 |111⟩ 상태로 바뀌고, |111⟩ 상태는 |000⟩ 상태로 변경. 즉, 상태의 진폭이 서로 교환한 것
  • 만약 첫번째 큐비트만 적용한다면 X(α|000⟩ + β|111⟩) = α|100⟩ + β|011⟩가 될 것임

2. 위상 플립 게이트 (Z 게이트) (Phase-Flip Gate (Z Gate))

• 상태 자체는 변경하지 않고 위상만 변경
• Z|0⟩ = |0⟩, Z|1⟩ = -|1⟩
• Z(α|000⟩ + β|111⟩) = α|000⟩ - β|111⟩

3. 하다마르 게이트 (H 게이트) (Hadamard Gate)

• 양자 컴퓨팅에서 핵심적인 역할을 하는 단일 큐비트 게이트
• 큐비트를 중첩 상태로 만드는 데 사용
• H|0⟩ = (|0⟩ + |1⟩)/√2 = |+⟩의 중첩 상태로 변환하고, H|1⟩ = (|0⟩ - |1⟩)/√2 = |-⟩ 의 중첩 상태로 변환
• 중첩 상태는 양자 알고리즘에서 병렬 연산을 가능하게 하여 계산 속도를 향상시키는 데 기여
• 블로흐 구면에서 하다마르 게이트는 X축과 Z축 사이의 대각선 축을 중심으로 180도 회전

4. Controlled-NOT 게이트 (CNOT Gate, Controlled X Gate)

• 두 개의 큐비트 간의 연관성을 만드는 데 사용되는 중요한 양자 게이트
• 이 게이트들은 한 큐비트의 상태에 따라 다른 큐비트의 상태를 변경하는 방식으로 작동
• 양자 얽힘 및 양자 알고리즘 구현에 필수적인 역할
• CNOT 게이트는 두 개의 큐비트, 즉 제어 큐비트와 대상 큐비트를 입력으로 받음
• 제어 큐비트의 상태가 |1⟩일 경우에만 대상 큐비트의 상태를 반전시킵니다(|0⟩ → |1⟩, |1⟩ → |0⟩)
• 제어 큐비트의 상태가 |0⟩일 경우 대상 큐비트의 상태는 변경되지 않음
• 양자 오류 수정 코드 및 다양한 양자 알고리즘에서 중요한 역할을 수행
• CNOT(1, 0)는 첫 번째 큐비트를 제어 큐비트로, 두 번째 큐비트를 대상 큐비트로 사용하는 CNOT 게이트를 의미
• CNOT(1, 0)|00⟩ = |00⟩, CNOT(1, 0)|01⟩ = |01⟩, CNOT(1, 0)|10⟩ = |11⟩, CNOT(1, 0)|11⟩ = |10⟩
• CNOT(제어 인덱스, 타겟 인덱스)|...210 인덱스)로 이해하고 만약 제어인덱스가 1인 경우 타겟 인덱스를 바꿔버림

5. Controlled-Z 게이트 (CZ Gate)

• 제어 큐비트와 대상 큐비트가 모두 |1⟩ 상태일 경우에만 대상 큐비트의 위상을 π만큼 변경
• 제어 큐비트 또는 대상 큐비트가 |0⟩ 상태인 경우에는 큐비트의 상태가 변경되지 않음
• CZ(1, 0)|00⟩ = |00⟩, CZ(1, 0)|01⟩ = |01⟩, CZ(1, 0)|10⟩ = |10⟩, CZ(1, 0)|11⟩ = -|11⟩

문제풀이

문제1.

H|10⟩ = H|1⟩ ⊗ H|0⟩ (텐서곱)

H|1⟩ = (|0⟩ - |1⟩)/√2

H|0⟩ = (|0⟩ + |1⟩)/√2

H|10⟩ = H|1⟩ ⊗ H|0⟩ = (|0⟩ - |1⟩)/√2 ⊗ (|0⟩ + |1⟩)/√2 = (|00⟩ + |01⟩ - |10⟩ - |11⟩)/2

 

H|10⟩의 결과는 네 개의 가능한 2 큐비트 상태(|00⟩, |01⟩, |10⟩, |11⟩)의 중첩, 각 상태의 진폭은 1/2 또는 -1/2

 

문제2.

H게이트 -> CZ 게이트 -> H 게이트 = CNOT 게이트

 

영단어 정리

• arbitrary complex number: 임의의 복소수