몬티 홀 문제 이해하기(Monty Hall problem)

몬티 홀 문제(Monty Hall Problem)는 확률과 조건부 확률에 대한 우리의 직관이 얼마나 틀릴 수 있는지를 보여주는 유명한 퍼즐 문제이다. 더 자세한 내용은 해당 나무위키 페이지를 확인해도 좋을 듯 싶다.

 

상황 설정:

1. 당신은 TV 게임 쇼에 참가했습니다.
2. 앞에는 3개의 문이 있습니다.
3. 이 중 하나의 문 뒤에는 고급 자동차가 있고, 나머지 두 문 뒤에는 염소가 있습니다. 자동차를 골라야 합니다.
4. 사회자 몬티 홀은 자동차가 어느 문 뒤에 있는지 알고 있습니다.

게임 진행:

1. 당신은 문 하나를 선택합니다. (예: 1번 문 선택)
2. 당신이 선택한 문을 열기 전에, 사회자 몬티 홀은 당신이 선택하지 않은 나머지 두 문 중에서 염소가 있는 문 하나를 열어줍니다. (사회자는 자동차가 있는 문은 절대 열지 않습니다.)
3. 이제 닫혀 있는 문은 당신이 처음 선택한 문과 사회자가 열지 않은 다른 문, 이렇게 두 개만 남아 있습니다.
4. 몬티 홀은 당신에게 묻습니다. "처음 선택한 문을 그대로 유지하시겠습니까, 아니면 다른 닫힌 문으로 바꾸시겠습니까?"

핵심 질문:

당신은 선택을 바꾸는 것이 유리할까요? 아니면 바꾸지 않는 것이 유리할까요? 아니면 아무런 차이가 없을까요?

문제의 핵심과 반직관적인 정답

대부분의 사람들은 "이제 문이 두 개만 남았으니 자동차가 있을 확률은 각각 50% 아니야?" 라고 생각하며 바꾸든 바꾸지 않든 똑같다고 느낀다. 

 

하지만 정답은 "선택을 바꾸는 것이 유리하다".

 

처음 문을 선택했을 때, 자동차를 맞출 확률은 1/3이다. 그리고 자동차를 못 맞출(염소를 고를) 확률은 2/3 이다.

• 만약 당신이 처음에 자동차를 골랐을 경우 (확률 1/3):
  • 사회자는 남은 두 염소 문 중 하나를 열고
  • 이때 당신이 선택을 바꾸면 염소를 얻게 된다
• 만약 당신이 처음에 염소를 골랐을 경우 (확률 2/3):
  • 사회자는 남은 두 문 중에서 반드시 다른 염소 문을 열어줄 수밖에 없다.
  • 이때 당신이 선택을 바꾸면 반드시 자동차를 얻게 된다.

즉, 처음에 자동차를 고를 확률보다 염소를 고를 확률이 2배 더 높기 때문에, 선택을 바꿈으로써 처음에 염소를 골랐던 2/3의 경우의 수를 모두 승리로 바꿀 수 있게 된다.

• 선택을 바꾸지 않으면: 처음에 자동차를 고른 경우에만 이기므로, 승리 확률은 1/3입니다.
• 선택을 바꾸면: 처음에 염소를 고른 경우에만 이기므로, 승리 확률은 2/3입니다.

따라서 선택을 바꾸는 것이 승리 확률을 2배 높여준다.